Tính đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm số | Học toán online chất lượng cao 2024

Bài viết lách này Vted ra mắt cho tới độc giả cách thức Tính đạo hàm và vi phân cấp cho cao của hàm số

Xem thêm thắt những bài xích viết:

>>Khai triển Taylor và ứng dụng

>>Ứng dụng của đạo hàm nhập phân tách kinh tế

Một số công thức đạo hàm cấp cao của hàm số thông thường gặp

$\begin{array}{l} nó = \sin (ax + b) \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\sin \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\\ nó = \cos (ax + b) \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\cos \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\\ nó = \dfrac{1}{{ax + b}} \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = \dfrac{{{{( - 1)}^n}{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\\ nó = {e^{ax + b}} \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}{e^{ax + b}}.\\ nó = {(ax + b)^\alpha } \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\alpha (\alpha - 1)...(\alpha - n + 1){(ax + b)^{\alpha - n}} \end{array}$

Công thức Lepnit tính đạo hàm cấp cho cao của hàm số tích

Cho những hàm số $y=u(x),y=v(x)$ sở hữu đạo hàm cho tới cấp cho $n$ Khi cơ ${{\left[ u(x).v(x) \right]}^{(n)}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-k)}}(x)}.$

Chứng minh. Ta sử dụng cách thức quy nạp:

Với $n=1\Rightarrow (uv{)}'=u{v}'+{u}'v=C_{1}^{0}u{v}'+C_{1}^{1}{u}'v$ công thức đích thị.

Giả sử công thức đích thị cho tới $n-1$ tức ${{\left[ u(x).v(x) \right]}^{(n-1)}}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{C_{n-1}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-1-k)}}(x)}.$

Khi đó:

\[\begin{gathered} {\left[ {u(x).v(x)} \right]^{(n)}} = {\left( {{{\left[ {u(x).v(x)} \right]}^{(n - 1)}}} \right)^\prime } = {\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x)} } \right)^\prime } \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k} \left( {{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x) + {u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \right) \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^{(k + 1) - 1}{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - (k + 1))}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = \sum\limits_{k = 1}^n {C_{n - 1}^{k - 1}{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = C_{n - 1}^0{u^{(0)}}(x){v^{(n)}}(x) + C_{n - 1}^{n - 1}{u^{(n)}}(x){v^{(0)}}(x) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k} \right){u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = C_n^0{u^{(0)}}(x){v^{(n)}}(x) + C_n^n{u^{(n)}}(x){v^{(0)}}(x) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {C_n^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} . \\ \end{gathered} \]

Ta sở hữu điều nên minh chứng.

Xem thêm thắt những bài xích viết:

>>Khai triển Taylor và ứng dụng

>>Ứng dụng của đạo hàm nhập phân tách kinh tế

Các ví dụ minh hoạ

Câu 1. Tính đạo hàm ${{f}^{(50)}}(x)$ với $f(x)=(2{{x}^{2}}+x+1){{e}^{5x+2}}.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{c} {f^{(50)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k{{(2{x^2} + x + 1)}^{(k)}}{{({e^{5x + 2}})}^{(50 - k)}}} .\\ = {5^{50}}(2{x^2} + x + 1){e^{5x + 2}} + 50(4x + 1){5^{49}}{e^{5x + 2}} + {1225.4.5^{48}}{e^{5x + 2}}. \end{array}$

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}.$ Tính ${{f}^{(100)}}(0).$

Giải. Ta có

$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }} = \dfrac{{2 - (1 - x)}}{{\sqrt {1 - x} }} = 2{(1 - x)^{ - \dfrac{1}{2}}} - {(1 - x)^{\dfrac{1}{2}}}.\\ {f^{(100)}}(x) = 2\left[ {{{( - 1)}^{100}}\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)\left( { - \dfrac{1}{2} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{2} - 99} \right){{(1 - x)}^{ - \dfrac{1}{2} - 100}}} \right]\\ - \left[ {{{( - 1)}^{100}}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\left( {\dfrac{1}{2} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{2} - 99} \right){{(1 - x)}^{\dfrac{1}{2} - 100}}} \right]\\ = \dfrac{{3.5...199}}{{{2^{99}}}}{(1 - x)^{ - \dfrac{{201}}{2}}} + \dfrac{{3.5....197}}{{{2^{100}}}}{(1 - x)^{\dfrac{{197}}{2}}}. \end{array}$

Do cơ ${{f}^{(100)}}(0)=\dfrac{3.5...197}{{{2}^{100}}}(199.2+1)=399\dfrac{(197)!!}{{{2}^{100}}},$ nhập cơ $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$

Câu 3. Tính ${{f}^{(100)}}(x)$ biết $f(x)={{x}^{2}}\cos x.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{c} {f^{(100)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{({x^2})}^{(k)}}{{(\cos x)}^{(100 - k)}}} \\ = {x^2}\cos \left( {x + \dfrac{{100\pi }}{2}} \right) + 100.2x.\cos \left( {x + \dfrac{{99\pi }}{2}} \right) + 4950.2.\cos \left( {x + \dfrac{{98\pi }}{2}} \right)\\ = {x^2}\cos x + 200x\sin x - 9900\cos x. \end{array}$

Câu 4. Tính đạo hàm cấp cho cao ${{y}^{(5)}}(x)$ của hàm số $y=\ln (2{{x}^{2}}-x).$

Giải. Ta có: ${y}'=\dfrac{4x-1}{2{{x}^{2}}-x}=\dfrac{4x-1}{x(2x-1)}=\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{4}{2x-1}-\left( \dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{x}.$

Vậy ${{y}^{(5)}}(x)={{\left( \dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{x} \right)}^{(4)}}=2\dfrac{{{2}^{4}}{{(-1)}^{4}}4!}{{{(2x-1)}^{5}}}+\dfrac{{{(-1)}^{4}}4!}{{{x}^{5}}}=24\left( \dfrac{32}{{{(2x-1)}^{5}}}+\dfrac{1}{{{x}^{5}}} \right).$

Câu 5. Tính đạo hàm cấp cho cao ${{f}^{(100)}}(0)$ của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}-x+1}.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{1}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{1}{{x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i}} - \dfrac{1}{{x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i}}} \right).\\ {f^{(100)}}(x) = \dfrac{1}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{{{{( - 1)}^{100}}100!}}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}} - \dfrac{{{{( - 1)}^{100}}100!}}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}}} \right)\\ {f^{(100)}}(0) = \dfrac{{100!}}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}} - \dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}}} \right) = \dfrac{{100!}}{{\sqrt 3 i}}( - \sqrt 3 i) = - 100! \end{array}$

Xem thêm: Cập nhập lịch bóng đá đầy đủ, chi tiết tại Xôi Lạc TV

Bước cuối độc giả thay cho dạng lượng giác số phức nhập nhằm rút gọn gàng.

Cách 2:Ta sở hữu $({{x}^{2}}-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp cho n nhị vế có:

$\begin{array}{l} ({x^2} - x + 1){y^{(n)}}(x) + n(2x - 1){y^{(n - 1)}}(x) + n(n - 1){y^{(n - 2)}}(x) = 0\\ {y^{(n)}}(0) - n{y^{(n - 1)}}(0) + n(n - 1){y^{(n - 2)}}(0) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} - \dfrac{{{y^{(n - 1)}}(0)}}{{(n - 1)!}} + \dfrac{{{y^{(n - 2)}}(0)}}{{(n - 2)!}} = 0\\ {u_n} = \dfrac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} \Rightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} = 0.... \end{array}$

Câu 6. Tính đạo hàm cấp cho cao ${{y}^{(99)}}(0)$ của hàm số $y=\arcsin x.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \Rightarrow (1 - {x^2})y' = \sqrt {1 - {x^2}} \\ \Rightarrow - 2xy' + (1 - {x^2})y'' = - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = - xy'\\ \Leftrightarrow (1 - {x^2})y'' - xy' = 0. \end{array}$

Do cơ ${{\left( (1-{{x}^{2}}){y}''-x{y}' \right)}^{(n)}}=0$ và

$\begin{array}{l} (1 - {x^2}){y^{(n + 2)}}(x) - n.2x.{y^{(n + 1)}}(x) - n(n - 1){y^{(n)}}(x) - x{y^{(n + 1)}}(x) - n{y^{(n)}}(x) = 0.\\ \Rightarrow {y^{(n + 2)}}(0) = {n^2}{y^{(n)}}(0) \Rightarrow {y^{(99)}}(0) = {97^2}{y^{(97)}}(0) = ... = {(97.95...3.1)^2}y'(0) = {(97!!)^2}. \end{array}$

Câu 7. Tính đạo hàm cấp cho 100 của hàm số $f(x)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}}}.$

Giải. Có \[f(x)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{x\sqrt[3]{1-5x}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{1-5x}}={{x}^{2}}{{\left( 1-5x \right)}^{-\dfrac{1}{3}}}.\]

Vì vậy vận dụng công thức Lepnit có

\[\begin{gathered} {f^{(100)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{(k)}}{{\left( {{{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3}}}} \right)}^{(100 - k)}}} = C_{100}^0{x^2}\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 99} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 100}}{{( - 5)}^{100}}} \right) \\ + C_{100}^12x\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 99}}{{( - 5)}^{99}}} \right) \\ + C_{100}^22\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 97} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 98}}{{( - 5)}^{98}}} \right) \\ = {( - 5)^{98}}\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 97} \right)} \right){\left( {1 - 5x} \right)^{ - \dfrac{1}{3} - 100}} \\ \times \left( {{{( - 5)}^2}\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right)\left( { - \dfrac{1}{3} - 99} \right){x^2} + {{( - 5)}^1}2C_{100}^1\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right)(1 - 5x)x + 2C_{100}^2{{(1 - 5x)}^2}} \right) \\ = {( - 5)^{98}}\prod\limits_{k = 0}^{97} {\left( { - \dfrac{1}{3} - k} \right)} {\left( {1 - 5x} \right)^{ - \dfrac{1}{3} - 100}}\left( {\dfrac{{250}}{9}{x^2} - \dfrac{{2000}}{3}x + 9900} \right). \\ \end{gathered} \]

Câu 8. Tính đạo hàm cấp cho cao ${{y}^{(10)}}(0)$ cuả hàm số $y={{e}^{-{{x}^{2}}}}.$

Giải. Có ${y}'=-2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}=-2xy\Leftrightarrow {y}'+2xy=0\Rightarrow {{\left( {y}'+2xy \right)}^{(n)}}=0.$

Khai triển công thức Lepnit có: ${{y}^{(n+1)}}+2x{{y}^{(n)}}+C_{n}^{1}2{{y}^{(n-1)}}=0\Rightarrow {{y}^{(n+1)}}(0)=-2n{{y}^{(n-1)}}(0).$

Do cơ ${{y}^{(10)}}(0)=-18{{y}^{(8)}}(0)=...=\left( -18 \right)\left( -14 \right){{y}^{(6)}}(0)=...=\left( -18 \right)\left( -14 \right)...\left( -2 \right){{y}^{(0)}}(0)=-30240.$