công thức đạo hàm cấp cao

Bài viết lách này Vted ra mắt cho tới độc giả cách thức Tính đạo hàm và vi phân cấp cho cao của hàm số

Xem thêm thắt những bài xích viết:

Bạn đang xem: công thức đạo hàm cấp cao

>>Khai triển Taylor và ứng dụng

>>Ứng dụng của đạo hàm nhập phân tách kinh tế

Một số công thức đạo hàm cấp cao của hàm số thông thường gặp

$\begin{array}{l} nó = \sin (ax + b) \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\sin \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\\ nó = \cos (ax + b) \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\cos \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\\ nó = \dfrac{1}{{ax + b}} \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = \dfrac{{{{( - 1)}^n}{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\\ nó = {e^{ax + b}} \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}{e^{ax + b}}.\\ nó = {(ax + b)^\alpha } \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\alpha (\alpha - 1)...(\alpha - n + 1){(ax + b)^{\alpha - n}} \end{array}$

Công thức Lepnit tính đạo hàm cấp cho cao của hàm số tích

Cho những hàm số $y=u(x),y=v(x)$ sở hữu đạo hàm cho tới cấp cho $n$ Khi cơ ${{\left[ u(x).v(x) \right]}^{(n)}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-k)}}(x)}.$

Chứng minh. Ta sử dụng cách thức quy nạp:

Với $n=1\Rightarrow (uv{)}'=u{v}'+{u}'v=C_{1}^{0}u{v}'+C_{1}^{1}{u}'v$ công thức đích thị.

Giả sử công thức đích thị cho tới $n-1$ tức ${{\left[ u(x).v(x) \right]}^{(n-1)}}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{C_{n-1}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-1-k)}}(x)}.$

Khi đó:

\[\begin{gathered} {\left[ {u(x).v(x)} \right]^{(n)}} = {\left( {{{\left[ {u(x).v(x)} \right]}^{(n - 1)}}} \right)^\prime } = {\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x)} } \right)^\prime } \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k} \left( {{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x) + {u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \right) \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^{(k + 1) - 1}{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - (k + 1))}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = \sum\limits_{k = 1}^n {C_{n - 1}^{k - 1}{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = C_{n - 1}^0{u^{(0)}}(x){v^{(n)}}(x) + C_{n - 1}^{n - 1}{u^{(n)}}(x){v^{(0)}}(x) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k} \right){u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = C_n^0{u^{(0)}}(x){v^{(n)}}(x) + C_n^n{u^{(n)}}(x){v^{(0)}}(x) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {C_n^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} . \\ \end{gathered} \]

Ta sở hữu điều nên minh chứng.

Xem thêm thắt những bài xích viết:

>>Khai triển Taylor và ứng dụng

>>Ứng dụng của đạo hàm nhập phân tách kinh tế

Các ví dụ minh hoạ

Câu 1. Tính đạo hàm ${{f}^{(50)}}(x)$ với $f(x)=(2{{x}^{2}}+x+1){{e}^{5x+2}}.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{c} {f^{(50)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k{{(2{x^2} + x + 1)}^{(k)}}{{({e^{5x + 2}})}^{(50 - k)}}} .\\ = {5^{50}}(2{x^2} + x + 1){e^{5x + 2}} + 50(4x + 1){5^{49}}{e^{5x + 2}} + {1225.4.5^{48}}{e^{5x + 2}}. \end{array}$

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}.$ Tính ${{f}^{(100)}}(0).$

Giải. Ta có

$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }} = \dfrac{{2 - (1 - x)}}{{\sqrt {1 - x} }} = 2{(1 - x)^{ - \dfrac{1}{2}}} - {(1 - x)^{\dfrac{1}{2}}}.\\ {f^{(100)}}(x) = 2\left[ {{{( - 1)}^{100}}\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)\left( { - \dfrac{1}{2} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{2} - 99} \right){{(1 - x)}^{ - \dfrac{1}{2} - 100}}} \right]\\ - \left[ {{{( - 1)}^{100}}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\left( {\dfrac{1}{2} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{2} - 99} \right){{(1 - x)}^{\dfrac{1}{2} - 100}}} \right]\\ = \dfrac{{3.5...199}}{{{2^{99}}}}{(1 - x)^{ - \dfrac{{201}}{2}}} + \dfrac{{3.5....197}}{{{2^{100}}}}{(1 - x)^{\dfrac{{197}}{2}}}. \end{array}$

Do cơ ${{f}^{(100)}}(0)=\dfrac{3.5...197}{{{2}^{100}}}(199.2+1)=399\dfrac{(197)!!}{{{2}^{100}}},$ nhập cơ $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$

Câu 3. Tính ${{f}^{(100)}}(x)$ biết $f(x)={{x}^{2}}\cos x.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{c} {f^{(100)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{({x^2})}^{(k)}}{{(\cos x)}^{(100 - k)}}} \\ = {x^2}\cos \left( {x + \dfrac{{100\pi }}{2}} \right) + 100.2x.\cos \left( {x + \dfrac{{99\pi }}{2}} \right) + 4950.2.\cos \left( {x + \dfrac{{98\pi }}{2}} \right)\\ = {x^2}\cos x + 200x\sin x - 9900\cos x. \end{array}$

Câu 4. Tính đạo hàm cấp cho cao ${{y}^{(5)}}(x)$ của hàm số $y=\ln (2{{x}^{2}}-x).$

Giải. Ta có: ${y}'=\dfrac{4x-1}{2{{x}^{2}}-x}=\dfrac{4x-1}{x(2x-1)}=\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{4}{2x-1}-\left( \dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{x}.$

Vậy ${{y}^{(5)}}(x)={{\left( \dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{x} \right)}^{(4)}}=2\dfrac{{{2}^{4}}{{(-1)}^{4}}4!}{{{(2x-1)}^{5}}}+\dfrac{{{(-1)}^{4}}4!}{{{x}^{5}}}=24\left( \dfrac{32}{{{(2x-1)}^{5}}}+\dfrac{1}{{{x}^{5}}} \right).$

Câu 5. Tính đạo hàm cấp cho cao ${{f}^{(100)}}(0)$ của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}-x+1}.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{1}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{1}{{x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i}} - \dfrac{1}{{x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i}}} \right).\\ {f^{(100)}}(x) = \dfrac{1}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{{{{( - 1)}^{100}}100!}}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}} - \dfrac{{{{( - 1)}^{100}}100!}}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}}} \right)\\ {f^{(100)}}(0) = \dfrac{{100!}}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}} - \dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}}} \right) = \dfrac{{100!}}{{\sqrt 3 i}}( - \sqrt 3 i) = - 100! \end{array}$

Xem thêm: thiệp cưới ý tưởng (hồ văn huê quận phú nhuận)

Bước cuối độc giả thay cho dạng lượng giác số phức nhập nhằm rút gọn gàng.

Cách 2:Ta sở hữu $({{x}^{2}}-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp cho n nhị vế có:

$\begin{array}{l} ({x^2} - x + 1){y^{(n)}}(x) + n(2x - 1){y^{(n - 1)}}(x) + n(n - 1){y^{(n - 2)}}(x) = 0\\ {y^{(n)}}(0) - n{y^{(n - 1)}}(0) + n(n - 1){y^{(n - 2)}}(0) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} - \dfrac{{{y^{(n - 1)}}(0)}}{{(n - 1)!}} + \dfrac{{{y^{(n - 2)}}(0)}}{{(n - 2)!}} = 0\\ {u_n} = \dfrac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} \Rightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} = 0.... \end{array}$

Câu 6. Tính đạo hàm cấp cho cao ${{y}^{(99)}}(0)$ của hàm số $y=\arcsin x.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \Rightarrow (1 - {x^2})y' = \sqrt {1 - {x^2}} \\ \Rightarrow - 2xy' + (1 - {x^2})y'' = - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = - xy'\\ \Leftrightarrow (1 - {x^2})y'' - xy' = 0. \end{array}$

Do cơ ${{\left( (1-{{x}^{2}}){y}''-x{y}' \right)}^{(n)}}=0$ và

$\begin{array}{l} (1 - {x^2}){y^{(n + 2)}}(x) - n.2x.{y^{(n + 1)}}(x) - n(n - 1){y^{(n)}}(x) - x{y^{(n + 1)}}(x) - n{y^{(n)}}(x) = 0.\\ \Rightarrow {y^{(n + 2)}}(0) = {n^2}{y^{(n)}}(0) \Rightarrow {y^{(99)}}(0) = {97^2}{y^{(97)}}(0) = ... = {(97.95...3.1)^2}y'(0) = {(97!!)^2}. \end{array}$

Câu 7. Tính đạo hàm cấp cho 100 của hàm số $f(x)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}}}.$

Giải. Có \[f(x)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{x\sqrt[3]{1-5x}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{1-5x}}={{x}^{2}}{{\left( 1-5x \right)}^{-\dfrac{1}{3}}}.\]

Vì vậy vận dụng công thức Lepnit có

\[\begin{gathered} {f^{(100)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{(k)}}{{\left( {{{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3}}}} \right)}^{(100 - k)}}} = C_{100}^0{x^2}\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 99} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 100}}{{( - 5)}^{100}}} \right) \\ + C_{100}^12x\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 99}}{{( - 5)}^{99}}} \right) \\ + C_{100}^22\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 97} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 98}}{{( - 5)}^{98}}} \right) \\ = {( - 5)^{98}}\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 97} \right)} \right){\left( {1 - 5x} \right)^{ - \dfrac{1}{3} - 100}} \\ \times \left( {{{( - 5)}^2}\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right)\left( { - \dfrac{1}{3} - 99} \right){x^2} + {{( - 5)}^1}2C_{100}^1\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right)(1 - 5x)x + 2C_{100}^2{{(1 - 5x)}^2}} \right) \\ = {( - 5)^{98}}\prod\limits_{k = 0}^{97} {\left( { - \dfrac{1}{3} - k} \right)} {\left( {1 - 5x} \right)^{ - \dfrac{1}{3} - 100}}\left( {\dfrac{{250}}{9}{x^2} - \dfrac{{2000}}{3}x + 9900} \right). \\ \end{gathered} \]

Câu 8. Tính đạo hàm cấp cho cao ${{y}^{(10)}}(0)$ cuả hàm số $y={{e}^{-{{x}^{2}}}}.$

Giải. Có ${y}'=-2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}=-2xy\Leftrightarrow {y}'+2xy=0\Rightarrow {{\left( {y}'+2xy \right)}^{(n)}}=0.$

Khai triển công thức Lepnit có: ${{y}^{(n+1)}}+2x{{y}^{(n)}}+C_{n}^{1}2{{y}^{(n-1)}}=0\Rightarrow {{y}^{(n+1)}}(0)=-2n{{y}^{(n-1)}}(0).$

Do cơ ${{y}^{(10)}}(0)=-18{{y}^{(8)}}(0)=...=\left( -18 \right)\left( -14 \right){{y}^{(6)}}(0)=...=\left( -18 \right)\left( -14 \right)...\left( -2 \right){{y}^{(0)}}(0)=-30240.$

Hiện bên trên Vted.vn thiết kế 2 khoá học tập Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, ĐH khối ngành Kinh tế của toàn bộ những trường:

  1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
  2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học tập hỗ trợ vừa đủ kỹ năng và cách thức giải bài xích tập dượt những dạng toán đi kèm theo từng bài học kinh nghiệm. Hệ thống bài xích tập dượt tập luyện dạng Tự luận sở hữu tiếng giải cụ thể bên trên trang web sẽ hỗ trợ học tập viên học tập nhanh chóng và áp dụng chắc chắn rằng kỹ năng. Mục xài của khoá học tập canh ty học tập viên đạt điểm A ganh đua cuối kì những học tập phần Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 trong những ngôi trường tài chính.

Sinh viên những ngôi trường ĐH tại đây rất có thể học tập được full bộ này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

Xem thêm: bánh sinh nhật anh hòa

và những ngôi trường ĐH, ngành tài chính của những ngôi trường ĐH không giống bên trên từng toàn quốc...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY